In einen Kreis mit dem Radius r=10cm soll ein Dreieck mit möglichst großem Flächeninhalt eingeschrieben werden. Wie sind die Seiten des Dreiecks zu wählen?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
...aber ein Dreieck beinhaltet doch immer nur 180°, oder?
HudiHoo
Beste Antwort
Ein gleichseitiges Dreieck hat den größten Flächeninhalt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Das_gleichseitige_Dreieck
Alle 3 Seiten sind gleich, ebenso alle 3 Winkel (3x 120° = 360°). Du markierst irgendwo auf dem Kreis den ersten Punkt und zeichnest die anderen beiden Punkte mit Geraden im 120°-Winkel ein.
Voilá!
Wurzelgnom
Mensch, die dreimal 120°, von denen HudiHoo spricht, sind doch im Innern des Dreiecks.
Wenn M der Mittelpunkt des Kreises ist und A, B und C die Eckpunkte, dann sind die Winkel
<AMB
<BMC und
>CMA
natürlich alle 120°
Und das macht dann zusammen 360°, also den Vollwinkel.
Nun betrachte das Dreieck
ABM
Es ist gleichschenklig, denn AM = BM = r = 10 cm
< AMB = 120°, also
< MAB = < MBA = 30°
Nun teile das Dreieck durch die Höhe.
http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-3g-jpg-nb.html
Du erhältst ein rechtwinkliges Dreieck MHB
< HBM = < ABM = 30°
< HMB = 1/2 < AMB = 60°
[HB] = a/2
[MB] = r = 10 cm
sin 60° = a/2 : r
1/2 wurzel(3) = a / 2r
a = 2*r * 1/2*wurzel(3)
a = r * wurzel(3)
a = 10 * wurzel(3) (in cm)
Die Seitenlänge des Dreiecks muss also rund 17,32 cm betragen.
Jonas
Der grösste Flächeninhalt hat ein gleichseitiges Dreieck, dessen Umkreis (Kreis der alle Ecken des Dreiecks berührt) der vorgegebene Kreis mit r=10 ist.
Ja, ein Dreieck hat nur eine Winkelsumme von 180 Grad! Also jeder Winkel 60 Grad.
Dachte erst du musst es berrechnen...