allo =) Brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
f(x) = a/x * e^( - x + 1) (Graphen der Schar: G)
a) wie ist der größtmögl. Definitionsbereich? Bestimmen Sie das Verhalten für x gegen +Unendlich b) Begründen Sie, dass kein Graph G der Schar die Koordinatenachsen schneiden c) Spiegelt man G an der x-Achse, erhält man einen anderen Graphen der Schar. Welchen Parameter hat dieser?
ich bin nur soweit gekommen die Funktion umzustellen auf a * x^-1 * e^-x+1 wie geht's weiter? Ich wäre seeehr dankbar über Hilfe.!!!
2010-03-07T04:36:52Z
danke das hilft mir sehr! Und wie zeige ich, dass die Graphen G je eine Tangente haben die parallel zur x-Achse ist?
Wurzelgnom2010-03-07T04:05:38Z
Beste Antwort
Ich habe schon bei Deiner ersten Frage meine Antwort als Kommentare reingeschrieben, also jetzt noch mal: y = f(x) = a/x * e^( - x + 1) y = f(x) = a/[x e^(x - 1)] (Du musst auch bei Deiner Umformung die Klammern um den Exponenten setzen, wenn - x + 1 der Exponent sein soll. sonst addiert man ganz zum Schluss die 1.
a) Größtmöglicher Definitionsbereich x muss ungleich 0 sein, damit der nenner von 0 verschieden ist. lim x -> oo f(x) = 0, da der Zähler a = const. ist und der Nenner gegen oo unbeschränkt wächst. b) a muss von 0 verschieden sein, weil sonst die Funktion f identisch const. = 0 wäre Damit wird der Zähler und damit f niemals 0, also gibt es keine Nullstelle. Also kein Schnittpunkt mit der x-Achse. x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich, also kein Schnittpunkt mit der y-Achse.
c) Spiegelung an der y-Achse bedeutet, alle Funktionswerte durch die entgegengesetzte Zahl ersetzen. y = f_gespiegelt(x) = - f (x) y = f_gespiegelt(x) = - a/x * e^( - x + 1) = - a/[x * e^(x - 1)]
@Zusatzfrage Behauptung: Jeder Graph der Schar hat genau eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft, d.h. Für jeden Graph verschwindet die 1. Ableitung genau ein Mal.
y = a / [x * e^(x - 1)] y' = f '(x) = - a [xe^(x - 1) + e^(x - 1)]/ [x*e^(-1)]² = - a * e^(x - 1) ( x + 1)/[xe^(x-1)]²
Dieser Term wird genau dann gleich 0, wenn x + 1 = 0, also (unabhängig von a) für x = - 1
Der Funktionswert an deiser Stelle ist: f ( - 1) = - a / e^(- 2) = - ae²
Die Gleichung der Tangente durch P( - 1 | - ae²) ist y = - ae²