Problem mit linearer inhomogener Dgl. 2. Ordnung, Störglied ist Produkt und mit Resonanz?
Ich beziehe mich hier mal auf ein Problem, das bereits schon einmal gepostet wurde. Gegeben ist die folgende, inhomogen lineare Dgl. 2. Ordnung:
y''+ 4*y'+ 4*y = √x * e^(-2*x)
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL ergibt sich aus λ_½ = λ = -2 zu:
y_h = (A + Bx)*e^(-2x)
Nun liegt hier eine Störfunktion
S(x) = √x * e^(-2*x)
als Produkt vor und e^(-2*x) ist sowohl Element der homogenen Lösung als auch der partikulären. Soweit ich mich erinnern kann, ist das dann ein Resonanzfall. Wie ist hier der korrekte Lösungsweg?
schon einmal eine Lösung versucht, bin mir aber nicht mehr sicher, ob die korrekt ist. Ich bitte mal um kompetente Hilfe auch im Interesse von Nathalie, die diese Frage gepostet hat.
2010-02-16T13:44:33Z
Hallo wycabwin. Und erst mal recht herzlichen Dank, dass du dir hier so viel Mühe gegeben hast. Marceck hat die Frage ja auch beantwortet und eine Lösung angegeben die rauskommt, wenn man die ursprüngliche Gleichung in Wolfram eingibt:
€: Ok, ich denke ich hab das Verfahren zur Modifikation des Ansatzes jetzt richtig. Fehlt nur noch ne vernünftige Begründung. Werd ich hoffentlich im Laufe des Tages nachreichen können :-) .................................................................................................
Uff, ist ganz schön lang geworden. Kurzversion gibts unten...
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Ich würd den Anfang so machen wie du, den Rest dann aber eher wie Nathalie das (vermutlich) vor hatte. Bei der Variation der Konstanten ist übrigens irgendwas schief gegangen bei dir. Weiß spontan nicht genau was, mal sehen, vielleicht rechne ich es später mal nach.
Also:
Über den Ansatz y = e^(λx) das charakteristische Polynom der homogonen Gleichung (y''+4y'+4y = 0) bestimmen. Einsetzen ergibt:
(λ² + 4λ + 4)e^(λx) = 0
Die e-Funktion wird niemals 0, also muss
λ² + 4λ + 4 = 0
gelten, um die Gleichung zu erfüllen. Lösung ist λ = -2 als doppelte Nullstelle. Damit kann man jetzt die Fundamentalbasis bestimmen. Grundfunktion für die Fundamentalbasis ist immer e^(λx), es sei denn, λ ist eine k-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms. In dem Fall muss die Fundamentalfunktion noch jeweils mit x , x^2, ... , x^(k-1) multipliziert werden. In unserem Fall ist λ = -2 zweifache Nullstelle, also ergibt sich die Fundamentalbasis
y_1 = e^(-2x)
y_2 = xe^(-2x)
Die Linearkombination beider Funktionen spannt den kompletten Lösungsraum der homogenen Gleichung auf:
y_h = C_1 e^(-2x) + C_2 x e^(-2x)
So wie du es ja im Prinzip auch gemacht hast. Nathalie wollte nun den "Ansatz vom Typ der Störfunktion" benutzen, der sich bei e-Funktionen, Polynomen und trigonometrischen Funktionen als Teil der Störfunktion häufig auszahlt, um eine spezielle Lösung zu finden. Ansatz wäre also prinzipiell erst einmal
y_s,n = c * x^1/2 * e^(-2x) (n steht für naiv ;-) )
wie sie es wohl auch vor hatte. jetzt ist es aber so, dass der Vorfaktor von x in der e-Funktion auch eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist -> Der Resonanzfall, wie du richtig erkannt hast. Die e-Funktion an sich ist also schon in der homogenen Lösung enthalten. Der Ansatz muss jetzt so modifiziert werden, wie schon vorher erklärt im Falle einer k-fachen Nullstelle - Multiplikation mit x^(k-1), wobei k sich jetzt auf 3 erhöht hat. Also sieht der modifizierte, zum Erfolg führende Ansatz so aus:
y_s = c * x^2 * x^1/2 * e^(-2x)
y_s = c * x^5/2 * e^(-2x)
Das ergibt insgesamt:
y = C_1 e^(-2x) + C_2 x e^(-2x) + c * x^5/2 e^(-2x)
wobei man c noch durch einsetzen bestimmen kann. Ohne Anfangswerte bleiben dann C_1 und C_2 als Integrationskonstanten übrig.
Das gilt zumindest alles für positive Exponenten auf der rechten Seite beim x. Für negative Exponenten n muss man etwas mehr aufpassen. Wenn n kleiner als die negative Ordnung m der DGL ist, in dem Beispiel hier also kleiner als -2, oder nicht ganzzahlig, klappt alles wie gehabt. Für ganze Zahlen ab -m, oder wie hier -2 wirds ein bisschen komischer. Das gilt also auch für das zweite Beispiel von Nathalie mit dem Exponenten -1, der ja negativ, ganzzahlig und größer als -2 ist. Das liegt letztendlich daran, dass die Methode "Ansatz vom Typ der rechten Seite" auf den Ergebnissen anderer, allgemeinerer Lösungsverfahren beruht und Integrationen beinhaltet. Potenzen von x verhalten sich beim Integrieren ja eigentlich nett, aber 1/x ist eben die Ausnahme mit ln(x) (+Konstante) als Stammfunktion. Bei einem Exponenten n, der negativ ganzzahlig und größer oder gleich der negativen Ordnung m der DGL ist, muss zusätzlich zum oben erklärten Verfahren noch ein Faktor [ln(x) + d] an den Ansatz multipliziert werden.
Ganz sicher bin ich bei den Begründungen noch nicht, aber der Ansatz der entsteht scheint zu funktionieren bei allen Beispielen, bei denen ich es ausprobiert habe.
Der Ansatz für Nathalie´s zweites Beispiel wäre also:
y_s = c * x^2 * 1/x * (ln(x) + d) * e^(-2x)
y_s = c * x * (ln(x) + d) * e^(-2x)
Probieren wir das mal mit einem komplizierteren Beispiel.
y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 1/x^2 * e^(-2x)
-2 ist jetzt dreifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Fundamentallösung ist also
y_h = [C_1 + C_2 x + C_3 x^2] * e^(-2x)
Ansatz für die spezielle Lösung wäre nach meiner Überlegung
y_s = c * x^3 * 1/x^2 * (ln(x) + d) * e^(-2x)
y_s = c * x * (ln(x) + d) * e^(-2x)
Also insgesamt
y = [C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + c * x(ln(x) + d)] * e^(-2x)
WolframAlpha sagt, das funktioniert: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%27%27%27+%2B+6y%27%27+%2B+12y%27+%2B+8y+%3D+1%2Fx%5E2+*+e%5E%28-2x%29+please oder: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%27+%2B+8y%27%27%27+%2B+24y%27%27+%2B+32y%27+%2B+16y+%3D+sqrt%28x%5E3%29+*+e%5E%28-2x%29
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Noch mal kurz:
Beim "Ansatz vom Typ der Störfunktion" benutzt man eine Funktion, die der Störfunktion in ihrer Charakteristik gleich ist (Polynom gleichen Grades, multipliziert mit e-Fkt. etc....). Im Resonanzfall muss man an diesen Ansatz noch einen Faktor x^(k-1) multiplizieren, wobei k der Entartungsgrad des Resonanzparameters in der Störfunktion insgesamt ist. In deinem Beispiel ist der Parameter -2, der aber schon doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms war. Entartungsgrad ist also k = 3. Das heißt, an den Ansatz muss noch x^(k-1) = x^2 multipliziert werden, so dass
y_s = c * x^2 * x^1/2 * e^(-2x)
y_s = c * x^5/2 * e^(-2x)
was zum Ziel führt.
Das funktioniert so aber nur, wenn der zu x in der Störfunktion gehörende Exponent eine der folgenden Bedingungen erfüllt:
- positiv - negativ aber nicht ganzzahlig - negativ, ganzzahlig _und_ kleiner als die negative Ordnung der DGL
In den anderen Fällen muss zusätzlich noch ein Faktor (ln(x) + d) an den Ansatz multipliziert werden.