einen Tunnel geradewegs durch die Erde bohren könnte und dann hinunterspringen würde? Was würde dann passieren? Würde man ganz durch fallen wegen der Schwerkraft, oder würde man in der Mitte in der Luft hängen bleiben (da die erde rund ist) oder irgendwie etwas anderes...? Ich weiss auch, dass dies realistisch unmöglich ist, der der Erdkern heiss ist, also braucht ihr mich nicht darauf aufmerksam zu machen... und bitte auch nicht die Antwort raten, sondern begründen...
KN2009-11-18T01:51:16Z
Beste Antwort
Wenn Du das Loch noch evakuierst, dann wirst Du bis zum Mittelpunkt hin beschleunigt, dannach verzögerst bis Du auf der gegenüberliegenden Seite zu Stillstand gekommen bist. So gemein, wie das Erdgravitationsfeld nun mal ist, wirst Du sofort wieder in das Loch hinein gezogen bis Du wieder am Ausgangsort bist. So pendelst Du ewig hin und her.
Nehmen wir einmal an die Erde sei eine homogene Kugel. Innerhalb einer homogenen Kugelschale heben sich die Schwerkräfte aller Massen in der Schale auf. Ferner wählen wir unsere x-Koordinate so, dass sie in der Lochachse liegt und er Koordinatenursprung im Erdmittelpunkt liegt. Dann wirkt im punkte x die Schwerkraft Fs
Fs = m M(x)*G/x² = m rho V G/x² = m rho * 4/3 Pi x³ G/x² = 4/3 Pi m rho G x
mit m = Deine Masse M(x) = Masse einer Kugel mit den Radius |x| V = Volumen einer Kugel mit dem Radius |x| rho= Dichte der Erde = 5515 kg/m³ G = Gravitationskonstante =6.6*10^-11 m³/(kg s²)
Diese Kraft wirkt die Trägheitskraft Ft
Ft= m a = m x''
entgegen. (a=Beschleunigung, ' steht für Ableitung nach der Zeit)
Es gilt also
4/3 Pi m rho G x = - m x''
(m kürzt sich raus)
mit der Lösung
x(t) = A sin(omega t) + B cos(omega t)
mit der Kreisfrequenz
omega = Wurzel(4 pi/3 G rho) = 0.0012 Hz
Die Frequenz ist dann f = 0.0002 Hz
und die Schwingungsdauer T= 5088 s = 1,4 h
Da die Erde nur schichtweise homogen ist, muß man für eine korrekte noch ein g_i = Schwerebeschleunigung an der i-ten Schichtgrenze berücksichtigen und erhält als Differentialgleichungen (_i kennzeichnet die Größen für die i-te Schicht)
4/3 Pi m rho G x =-m g_i - m x''
mit den Lösungen
x(t) = A_i sin(omega_i t) + B_i cos(omega_i t)- 3 g_i/(4 Pi G rho_i)
Die Lösungen wären dann an den Schichtgrenzen stetig differenzierbar zu verbinden.
Wäre Luft im Loch würde aufgrund des Luftwiderstandes die Bewegung abgebremst. sprich Du würdest Dich immer weniger weit von Erdmittelpunkt entfernen bis du nach unendlich langer Zeit im Mittelpunkt zur Ruhe kämst.
Um dies zu berechnen, müßtest Du auf der linken Seite den Luftwiderstand Fl dazuzählen.
Fl= 1/2 rho_luft m cw A (x')²
mit: rho_luft = Dichte der Luft cw = Widerstandsbeiwert A = Fläche Deine Körpers senkrecht zur Fallrichtung.
Diese Gleichung lässt sich nicht mehr geschlossen lösen. Lösungsverfahren sind Numerik oder Störungsrechnung.