Von rekursiv zu explizit?
Ich verzweifle daran:
Diese rekursiv dargestellte Zahlenfolge:
an=an-1 + 2*(n+1) mit a1=0
Soll ich in einer expliziten Form angeben.
Wie macht man das? Gibt's da generell eine Strategie, die mir dabei hilft??
Ich verzweifle daran:
Diese rekursiv dargestellte Zahlenfolge:
an=an-1 + 2*(n+1) mit a1=0
Soll ich in einer expliziten Form angeben.
Wie macht man das? Gibt's da generell eine Strategie, die mir dabei hilft??
matherwig
Beste Antwort
Oft reicht es, wenn man sich die ersten 4 oder 5 Glieder aufschreibt und man kann schon ein Bildungsgesetz erkennen. Hier war es - zumindest für mich- nicht auf Anhieb erkennbar.
Nun zur Lösung:
a1 = 0
a2 = 0 + 2*3 = 6
a3 = 6 +2*4 = 14
a4 = 14 + 2*5 = 24
usw.
allgemein:
an = 0 + 2*3 + 2*4 +...2*(n + 1) =
= 2*(3 + 4 + ....+ (n+1)) =
(ich habe hier in der Klammer eine arithmetische Reihe mit n-1 Gliedern von 3 bis n+1:
Nach der Formel sn = n/2*(a1 + an) ergibt sich nun:
an = 2*(n - 1)/2 * (3 + (n + 1)) = (n - 1)*(n + 4) =
= n² + 3n - 4
Probe:
a1 = 1² + 3 - 4 = 0
a2 = 2² + 3*2 - 4 = 6
a3 = 3² + 3*3 - 4 = 14
a4 = 4² + 3*4 - 4 = 24
usw.