Von rekursiv zu explizit?

Ich verzweifle daran:

Diese rekursiv dargestellte Zahlenfolge:
an=an-1 + 2*(n+1) mit a1=0

Soll ich in einer expliziten Form angeben.
Wie macht man das? Gibt's da generell eine Strategie, die mir dabei hilft??

matherwig2009-09-27T13:44:29Z

Beste Antwort

Oft reicht es, wenn man sich die ersten 4 oder 5 Glieder aufschreibt und man kann schon ein Bildungsgesetz erkennen. Hier war es - zumindest für mich- nicht auf Anhieb erkennbar.

Nun zur Lösung:
a1 = 0
a2 = 0 + 2*3 = 6
a3 = 6 +2*4 = 14
a4 = 14 + 2*5 = 24
usw.

allgemein:
an = 0 + 2*3 + 2*4 +...2*(n + 1) =
= 2*(3 + 4 + ....+ (n+1)) =
(ich habe hier in der Klammer eine arithmetische Reihe mit n-1 Gliedern von 3 bis n+1:
Nach der Formel sn = n/2*(a1 + an) ergibt sich nun:
an = 2*(n - 1)/2 * (3 + (n + 1)) = (n - 1)*(n + 4) =
= n² + 3n - 4

Probe:
a1 = 1² + 3 - 4 = 0
a2 = 2² + 3*2 - 4 = 6
a3 = 3² + 3*3 - 4 = 14
a4 = 4² + 3*4 - 4 = 24
usw.