Induktionsbeweis zu Primzahlen?

Question

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe und komme momentan nicht weiter:
Es ist zu zeigen, dass 30|(n^5 - n) für alle n.

Mir ist klar, dass hier ein Induktionsbeweis zu führen ist. So weit bin ich momentan:

Induktionsanfang: n=1           30|(1^5 - 1)
                             n=2           30|(2^5 - 2)

Induktionsschritt: n => n+1
IV: 30|(n^5 - n)
IB: 30|((n+1)^5 - (n+1))
Beweis:
((n+1)^5 - (n+1)) = (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) - n -1
                           = (n^5 - n) + (5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n)

Nach Voraussetzung ist n^5 - n durch 30 teilbar. Wie zeige ich jetzt, dass 30 auch 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n teilt? Daran rätsle ich jetzt schon seit Stunden herum. Eine andere Idee von mir ist, zu zeigen, dass 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n durch 2,3 und 5 teilbar ist aber ausser für 5 ist das ja nicht zu zeigen.
Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke für alle Antworten

                                                Gruß, Wallenstein

matherwig · Accepted Answer

Also ich mache das ohne Induktion:
Ich zerlege 
n^5 - n = n*(n² + 1)*(n - 1)*(n +1)
n^5 -n muss durch 2,3 und 5 teilbar sein, um durch 30 teilbar zu sein:
Teilbarkeit durch 2: entweder ist n oder n-1 durch 2 teilbar => erfüllt.
Teilbarkeit durch 3: n oder n-1 oder n+1 ist durch 3 teilbar => erfüllt
Teilbarkeit durch 5: 
n = 5m => n durch 5 teilbar => erfüllt
n = 5m +1 => n-1 durch 5 teilbar => erfüllt
n = 5m + 2 => (5m+2)²+1 = 25m²+20m+4+1 durch 5 teilbar => erfüllt
n = 5m + 3 => (5m+3)²+1 = 25m²+30m+9+1 durch 5 teilbar => erfüllt
n = 5m +4 => n + 1 durch 5 teilbar => erfüllt

Induktionsbeweis zu Primzahlen?

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