Wieviele Kugeln sind in der Urne?
Ich will mal ne Frage reinstellen die mal wirklich mathermatisch ist und mal schauen wer drauf kommt ^^
Wir haben eine abzählbare Menge Kugeln, das heißt also unendlich viele Kugeln, von denen jede mit einer natürlichen Zahl beschrifftet ist und auch jeder natürliche Zahl vorkommt. Eine Minute vor zwölf werden die Kugeln 1&2 in eine Urne gelegt. Eine halbe Minute vör Zwölf werden die Kugeln 3&4 reingelegt und die Kugel 1 entfernt. Allgemein werden zum Zeitpunkt 1/n Minuten vor Zwölf (n = 2,3,...) die Kugeln 2n-1 und 2n in die Urne gelegt und die Kugel n-1 entfernt. Wieviele Kugeln liegen um Zwölf in der Urne?
Bitte Antwort begründen und keine Anworten wie "Keiner kann in weniger als 1 mikrosekunden zwei Kugeln in eine Urne legen", es ist natürlich nur ein theoretisches Experiment. Wer die Aufgabe schon kennt bitte net spoilern ;)
Natürlich erreichen wir 12 Uhr nach nur abzählbar unendlich vielen Schritten, denkt mal net immer so endlich. Parallele Geraden schneiden sich auch, nur halt erst im unedlichen. Den Witz kenn ich schon, is aber gar net mal so schlecht ;)
Ok nochmal: Natürlich erreicht man 12 Uhr nicht nach endlich vielen Schritten, dies soll ja grade sicher stellen, dass der Vorgang unendlich oft wiederholt wird.
Ok: Die Urne ist natürlich unendlich groß
Also gut, lösen wir mal auf. Die Frage wird gerne im ersten Semester Mathematik-Studium gestellt, um den Studenten die mathematische Denkweise etwas näher zu bringen.
Die Antwort die die meisten mit ihrer Schulmathematik geben (war damals auch meine) ist: Die Anzahl an Kugel zum Zeitpunkt 1/n-Minuten vor Zwölf lässt sich mit der Folge x[n] = n+1 beschreiben. Es gilt lim(n->∞) x[n] = ∞ also liegen unendlich viele Kugeln in der Urne.
Einige haben dies soweit ja schon erkannt. Der Punkt ist, das der Limes, auch wenns nicht so ausschaut, zwar beliebig lange aber ENDLICHE Teilfolgen beschreibt. Man kann also nur Aussagen das nach endlich vielen Schritten, eine beliebig große Anzahl Kugeln in der Urne liegt, nicht was nach unendlich vielen Schritten geschieht.
Die richtige Antwort findet sich statt dessen ganz leicht, mit einfacher Logik und ohne Infinitisimalrechnung:
Keine (Begründung nächster Post)
Wenn eine Kugel in der Urne wäre, wäre sie mit einer Zahl beschrieben, sagen m. Allerdings kann ich sagen, dass sie genau einmal reingelegt wurde und danach genau einmal entfernt wurde, also kann sie nicht drin liegen. Ergo liegt keine Kugel in der Urne.
Die Aufgabe lehrt dem Studenten ein paar Dinge:
1. Die Vorstellung trügt manchmal
2. Man muss mit sauberere Logik arbeiten
3. Die Lösung ist manchmal einfacher als man denkt
Ich fand die Aufgabe im 1. Semester wahnsinnig spannend und interessant. Ich hoffe ein paar empfinden ähnlich und hatten ihren Spaß dran und ich konnte zeigen, dass Mathematik mehr ist als schnödes rechnen. Nix für ungut, falls sich jemand veräppelt fühlt, war nicht meine Absicht und ich hoffe ich werde weiterhin als Mathematiker ernst genommen ;)